Die Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks seien fortlaufend mit E1 bis E5 bezeichnet. Weiterhin sei M der Mittelpunkt der Seite E1 E5 und Z der Mittelpunkt des Fünfecks. Zur Bestimmung der Höhe h = ME3 und der Diagonalen d = E1E3, verlängere man die beiden Seiten E5E1 und E3E2 jeweils bis zu ihrem gemeinsamen Schnittpunt S. Schließlich bezeichne R den Höhenabschnitt ZE3, also den Radius des Umkreises, und daher r = h - R den Höhenabschnitt ZM, also den Radius des Inkreises.
Durch Betrachten der Winkel bei S, E1 und E3 erkennt man, daß das Dreieck SE1E3 ein gleichschenkliges ist und die Seiten E1E3 = d und E1S gleich lang sind. Aus Symmetriegründen ist aber auch das Dreieck E1SE2 gleichschenklig und daher gilt ebenfalls E2S = d.
Wendet man nun den Satz des Pythagoras auf geeignete Dreiecke an, so erhält man:
Hieraus ergibt sich zunächst
und daraus wiederum
Zur Bestimmung von R und r=h-R beachte man noch die für jedes regelmäßige n-Eck gültige Beziehung
Man erhält damit
und
Der Flächeninhalt des regelmäßigen n-Ecks setzt sich zusammen aus n Dreiecken der Grundseite a und der Höhe r, also für n=5 speziell