Zwei natürliche Zahlen n und m heißen befreundet (englisch "amicable"), wenn m die Summe der von n verschiedenen Teiler von n ist und n die Summe der von m verschiedenen Teiler von m. Man nennt eine natürliche Zahl vollkommen (englisch "perfect"), wenn sie mit sich selbst befreundet ist.
Die kleinsten Beispiele für vollkommene Zahlen sind
Die vollkommenen Zahlen schienen den alten Griechen interessant zu sein, wahrscheinlich sogar schon früher den Babyloniern und Ägyptern. Euklid bewies um ca. 300 v. Chr. als Satz 36 des Buches IX seiner Elemente:
Satz: Ist für eine natürliche Zahl n die Zahl eine Primzahl, dann ist eine vollkommene Zahl.
So fand man schon in der Antike neben 6 (n=2) und 28 (n=3) etwa noch 496 (n=5) und 8128 (n=7). Wie in diesen Beispielen muß dann n auch immer eine Primzahl sein.
Die Suche nach immer größeren vollkommenen Zahlen ist daher eng verbunden mit der Rekordjagd nach großen Primzahlen der Form , die man heute Mersenneschen Primzahlen nennt. Die Frage, ob es eine größte vollkommene Zahl oder eine größte Mersennesche Primzahl gibt, ist allerdings noch offen. (Jedoch ist dies aus verschiedenen Gründen eher unwahrscheinlich.)
Den aktuellen Stand der Forschung über Mersennesche Primzahlen und daraus sich ergebende gerade vollkommene Zahlen kann man der unten angefügten Tabelle entnehmen.Alle nach dem euklidischen Verfahren gefundenen vollkommenen Zahlen sind offensichtlich gerade und man kann sogar zeigen, daß jede gerade vollkommene Zahl durch dieses Verfahren gefunden werden kann. Es ist bis heute ebenfalls noch unbekannt, ob es überhaupt ungerade vollkommene Zahlen gibt.
In der folgenden Tabelle sind in fortlaufender Numerierung die Mersenneschen Primzahlen durch ihre erzeugende Primzahl p angegeben. Zusätzlich ist die Stellenanzahl von und der vollkommenen Zahl angegeben.
Für die letzten vier Einträge ist zur Zeit noch unbekannt, ob zwischen ihnen nicht noch weitere Mersenneschen Primzahlen und damit vollkommene Zahlen liegen.
Nr. | p | Dezimalstellen von | Dezimalstellen von |
1 | 2 | 1 | 1 |
2 | 3 | 1 | 2 |
3 | 5 | 2 | 3 |
4 | 7 | 3 | 4 |
5 | 13 | 4 | 8 |
6 | 17 | 6 | 10 |
7 | 19 | 6 | 12 |
8 | 31 | 10 | 19 |
9 | 61 | 19 | 37 |
10 | 89 | 27 | 54 |
11 | 107 | 33 | 65 |
12 | 127 | 39 | 77 |
13 | 521 | 157 | 314 |
14 | 607 | 183 | 366 |
15 | 1279 | 386 | 770 |
16 | 2203 | 664 | 1327 |
17 | 2281 | 687 | 1373 |
18 | 3217 | 969 | 1937 |
19 | 4253 | 1281 | 2561 |
20 | 4423 | 1332 | 2663 |
21 | 9689 | 2917 | 5834 |
22 | 9941 | 2993 | 5985 |
23 | 11213 | 3376 | 6751 |
24 | 19937 | 6002 | 12003 |
25 | 21701 | 6533 | 13066 |
26 | 23209 | 6987 | 13973 |
27 | 44497 | 13395 | 26790 |
28 | 86243 | 25962 | 51924 |
29 | 110503 | 33265 | 66530 |
30 | 132049 | 39751 | 79502 |
31 | 216091 | 65050 | 130100 |
32 | 756839 | 227832 | 455663 |
? | 859433 | 258716 | 517430 |
? | 1257787 | 378632 | 757263 |
? | 1398269 | 420921 | 841842 |
Neben den oben genannten vier vollkommenen Zahlen kannte man in der Antike nur ein weiteres Paar befreundeter Zahlen, nämlich 220 und 284.
220=1+2+4+71+142, 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110
Die Entdeckung dieses Paares wird Pythagoras zugeschrieben.
Sicher ist, daß der arabische Mathematiker Thabit ibn Qurrah (836 - 901) den folgenden Satz über befreundete Zahlen bewiesen hat:
Sind drei Zahlen und Primzahlen, so sind die beiden Zahlen und befreundet.
Leider liefert dieser Satz für nur in den Fällen und die erforderlichen drei Primzahlen.Leonhard Euler stellte eine Liste von 64 befreundeten Zahlenpaaren auf, von denen zwei falsch waren. 1830 fand Adrien Marie Legendre ein weiteres Paar. 1972 waren 1096 Paare befreundeter Zahlen bekannt, vgl. J. Lee, Joseph Madachy, The History and Discovery of Amicable Numbers, Journal of Recreational Mathematics 5 (1972), S. 2-4.
Heute kennt man bereits über 5000 Paare befreundeter Zahlen, jedoch ist es offen, ob es unendlich viele derartige Paare gibt.
Mehr zu diesem Thema findet man in dem Aufsatz "Lebendige Zahlen" von Walter Borho, der im Band 1 der Reihe "Mathematische Miniaturen" beim Birkhäuser-Verlag 1981 erschienen ist.
Hier ist die Liste aller befreundeter Zahlen unterhalb von 10 000 000:
Nr. | erste Zahl | zweite Zahl | Jahr | Entdecker |
1 | 220 | 284 | - | Pythagoras(?)/Thabit |
2 | 1184 | 1210 | 1867 | Paganini |
3 | 2620 | 2924 | - | - |
4 | 5020 | 5564 | - | - |
5 | 6232 | 6368 | - | - |
6 | 10744 | 10856 | - | - |
7 | 12285 | 14595 | - | - |
8 | 17296 | 18416 | um 1300/1636 | Ibn-al-Banna/Pierre de Fermat |
9 | 63020 | 76084 | - | - |
10 | 66928 | 66992 | - | - |
11 | 67095 | 71145 | - | - |
12 | 69615 | 87633 | - | - |
13 | 79750 | 88730 | - | - |
14 | 100485 | 124155 | - | - |
15 | 122265 | 139815 | - | - |
16 | 122368 | 123152 | - | - |
17 | 141664 | 153176 | - | - |
18 | 142310 | 168730 | - | - |
19 | 171856 | 176336 | - | - |
20 | 176272 | 180848 | - | - |
21 | 185368 | 203432 | - | - |
22 | 196724 | 202444 | - | - |
23 | 280540 | 365084 | - | - |
24 | 308620 | 389924 | - | - |
25 | 319550 | 430402 | - | - |
26 | 356408 | 399592 | - | - |
27 | 437456 | 455344 | - | - |
28 | 469028 | 486178 | - | - |
29 | 503056 | 514736 | - | - |
30 | 522405 | 525915 | - | - |
31 | 600392 | 669688 | - | - |
32 | 609928 | 686072 | - | - |
33 | 624184 | 691256 | - | - |
34 | 635624 | 712216 | - | - |
35 | 643336 | 652664 | - | - |
36 | 667964 | 783556 | - | - |
37 | 726104 | 796696 | - | - |
38 | 802725 | 863835 | - | - |
39 | 879712 | 901424 | - | - |
40 | 898216 | 980984 | - | - |
41 | 947835 | 1125765 | - | - |
42 | 998104 | 1043096 | - | - |
43 | 1077890 | 1099390 | - | - |
44 | 1154450 | 1189150 | - | - |
45 | 1156870 | 1292570 | - | - |
46 | 1175265 | 1438983 | - | - |
47 | 1185376 | 1286744 | - | - |
48 | 1280565 | 1340235 | - | - |
49 | 1328470 | 1483850 | - | - |
50 | 1358595 | 1486845 | - | - |
51 | 1392368 | 1464592 | - | - |
52 | 1466150 | 1747930 | - | - |
53 | 1468324 | 1749212 | - | - |
54 | 1511930 | 1598470 | - | - |
55 | 1669910 | 2062570 | - | - |
56 | 1798875 | 1870245 | - | - |
57 | 2082464 | 2090656 | - | - |
58 | 2236570 | 2429030 | - | - |
59 | 2652728 | 2941672 | - | - |
60 | 2723792 | 2874064 | - | - |
61 | 2728726 | 3077354 | - | - |
62 | 2739704 | 2928136 | - | - |
63 | 2802416 | 2947216 | - | - |
64 | 2803580 | 3716164 | - | - |
65 | 3276856 | 3721544 | - | - |
66 | 3606850 | 3892670 | - | - |
67 | 3786904 | 4300136 | - | - |
68 | 3805264 | 4006736 | - | - |
69 | 4238984 | 4314616 | - | - |
70 | 4246130 | 4488910 | - | - |
71 | 4259750 | 4445050 | - | - |
72 | 4482765 | 5120595 | - | - |
73 | 4532710 | 6135962 | - | - |
74 | 4604776 | 5162744 | - | - |
75 | 5123090 | 5504110 | - | - |
76 | 5147032 | 5843048 | - | - |
77 | 5232010 | 5799542 | - | - |
78 | 5357625 | 5684679 | - | - |
70 | 5385310 | 5812130 | - | - |
80 | 5459176 | 5495264 | - | - |
81 | 5726072 | 6369928 | - | - |
82 | 5730615 | 6088905 | - | - |
83 | 5864660 | 7489324 | - | - |
84 | 6329416 | 6371384 | - | - |
85 | 6377175 | 6680025 | - | - |
86 | 6955216 | 7418864 | - | - |
87 | 6993610 | 7158710 | - | - |
88 | 7275532 | 7471508 | - | - |
89 | 7288930 | 8221598 | - | - |
90 | 7489112 | 7674088 | - | - |
91 | 7577350 | 8493050 | - | - |
92 | 7677248 | 7684672 | - | - |
93 | 7800544 | 7916696 | - | - |
94 | 7850512 | 8052488 | - | - |
95 | 8262136 | 8369864 | - | - |
96 | 8619765 | 9627915 | - | - |
97 | 8666860 | 10638356 | - | - |
98 | 8754130 | 10893230 | - | - |
99 | 8826070 | 10043690 | - | - |
100 | 9071685 | 9498555 | - | - |
101 | 9199496 | 9592504 | - | - |
102 | 9206925 | 10791795 | - | - |
103 | 9339704 | 9892936 | - | - |
104 | 9363584 | 9437056 | 1638 | Rene Descartes |
105 | 9478910 | 11049730 | - | - |
106 | 9491625 | 10950615 | - | - |
107 | 9660950 | 10025290 | - | - |
108 | 9773505 | 11791935 | - | - |
Eine Kette natürlicher Zahlen heißt eine Kette geselliger Zahlen (englisch "sociable numbers"), wenn jede Zahl der Kette gleich der Summe der von verschiedenen Teiler von ist und die Summe der von verschiedenen Teiler von .
1918 veröffentlichte P. Poulet eine Kette geselliger Zahlen der Ordnung 5:
12496, 14288, 15472, 14536, 14264
und eine Kette der Ordnung 28:
14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716
1969 entdeckte Henri Cohen sieben Ketten der Ordnung 4 und später fand Steve Root sechs weitere dieser Ketten.
Insgesamt kennt man heute 45 Ketten geselliger Zahlen:
38 der Länge 4,
1 der Länge 5,
2 der Länge 6,
2 der Länge 8,
1 der Länge 9,
1 der Länge 28.
Neben den beiden oben angegebenen sind dies:
1264460, 1547860, 1727636, 1305184
2115324, 3317740, 3649556, 2797612
2784580, 3265940, 3707572, 3370604
4938136, 5753864, 5504056, 5423384
7169104, 7538660, 8292568, 7520432
18048976, 20100368, 18914992, 19252208
18656380, 20522060, 28630036, 24289964
28158165, 29902635, 30853845, 29971755
46722700, 56833172, 53718220, 59090084
81128632, 91314968, 96389032, 91401368
174277820, 205718020, 262372988, 210967684
209524210, 246667790, 231439570, 230143790
330003580, 363003980, 399304420, 440004764
498215416, 506040584, 583014136, 510137384
805984760, 1268997640, 1803863720, 2308845400, 3059220620, 3367978564, 2525983930, 2301481286, 1611969514
1095447416, 1259477224, 1156962296, 1330251784, 1221976136, 1127671864, 1245926216, 1213138984
1236402232, 1369801928, 1603118392, 1412336648
1276254780, 2299401444, 3071310364, 2303482780, 2629903076, 2209210588, 2223459332, 1697298124
1799281330, 2267877710, 2397470866, 1954241390
2387776550, 2497625050, 2550266150, 2506553050
2879697304, 3320611496, 3364648984, 3147575336
3705771825, 3890616975, 4298858865, 4659093135
4424606020, 5186286908, 4720282996, 4993345292
4823923384, 5708253896, 5513075704, 5196238856
5373457070, 5406735730, 5575049870, 5983131730
8653956136, 9890235704, 9468980296, 9237894104
15837081520, 23967995792, 26042149708, 21105018164
17616303220, 20012014220, 25854330388, 22095024044
21548919483, 23625285957, 24825443643, 26762383557, 25958284443, 23816997477
21669628904, 28986647896, 25367088104, 24111275896
44379752648, 59472079672, 57414289928, 50520737272
73636082872, 85180941128, 80241838072, 84123459128
88585861815, 90937094985, 90251247735, 90965321865
90568599176, 101073426424, 99587052776, 100773510424
90632826380, 101889891700, 127527369100, 159713440756, 129092518924, 106246338676
91411869465, 96182575335, 117001337625, 113863886055
111375706442, 117225146038, 122866422602, 117060156598
1092162882824, 1177885756216, 1264819120424, 1178275499416
1755676229313195, 1788418506686805, 1821198145117995, 1788428908642005
114588454336625295, 115087954524328305, 115583776699336335, 115087979545630065
127735111770308496156105, 127870741499225281763895, 128006484638238134248905, 127870742226200145943095
455449879323655623656384, 460256233251615186934336, 465109226480399267470784, 460256233273935581206336