Zur Bestimmung des Radius R der umschreibenden Kugel des Tetraeders und des Radius r der in das Tetraeder einbeschriebenen Kugel legt man eine Schnittebene durch eine Kante des Tetraeders und die Mitte M1 der gegenüberliegenden Kante. Die zu der Kante gehörenden Ecken des Tetraeders seien E1 und E2. Offensichtlich liegt auch das Zentrum Z des Tetraeders in dieser Schnittebene. Die Ebene schneidet die Oberfläche des Tetraeders also in einer Kante und in zwei Seitenmitten von zwei Dreiecksflächen. Diese Seitenmitten sind gleichzeitig Höhen in den betreffenden gleichseitigen Dreiecken und haben daher die Länge h = a/2*sqrt(3). Die Schnittebene schneidet aus der Oberfläche des Tetraeders also ein gleichschenkliges Dreieck aus.
Schließlich sei noch N der Punkt auf der Höhe M1E1, der diese im Verhältnis M1N : NE1 = 1:2 teilt. Er ist der Schwerpunkt des zugehörigen Tetraederdreiecks und damit Berührpunkt der einbeschriebenen Kugel.
Nun gilt ZE1 = R, ZN = r und E1M1 = a/2*sqrt(3), E1N = a/3*sqrt(3) sowie NM1 = a/6*sqrt(3) nach bekannten Formeln für das gleichseitige Dreieck der Seitenlänge a. In geeigneten rechtwinkligen Dreiecken ergeben sich daher durch Anwendung des Satzes des Pythagoras:
Aus der letzten Formel erhält man R + r = a*sqrt(2/3) und daher
Mit der ersten Formel ergibt dies