3. Der Satz des Pythagoras


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Der pythagoreische Lehrsatz

Bei jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des
Quadrates H über der Hypotenuse c
gleich der Summe des
Quadrates Ka über der Kathete a
und des
Quadrates Kb über den Kathete b.

Als Formel ausgedrückt :

c2 = a2 + b2


Dokumentation zu GEONET

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Beweis des pythagoreischen Lehrsatzes :

Die vier zum obigen Ausgangsdreieck kongruenten Dreiecke lassen sich so in das Hypotenusenquadrat einpassen, daß sie ein Quadrat der Seitenlänge (a-b) umschließen.

Also gilt :
c2 = (a-b)2 + 4*0,5*(ab) =
= a2 - 2ab + b2 + 2ab =
= a2 + b2 #

(Der Punkt C läßt sich mit dem Mauszeiger bei gedrückter linken Maustaste auf dem Thaleskreis über [AB] bewegen. )

Dies ist nur einer von insgesamt rund 400 existierenden Beweisen.

Der Kehrsatz zum pythagoreischen Lehrsatz

Ist das Dreieck ABC ein Dreieck mit den Seiten a,b,c und es gilt die Beziehung c2 = a2 + b2 , so ist das Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit [AB] als Hypotenuse.

Beweis :

Sei A'B'C' ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C', für dessen Katheten [A'C'] und [B'C'] gilt :
1) Länge von [A'C'] = a' = Länge von [AC] = a
2) Länge von [B'C'] = b' = Länge von [BC] = b
Da das Dreieck A'B'C' rechtwinklig ist gilt hier der Satz des Pythagoras und somit gilt mit
c' : = Länge der Hypotenuse [A'B']
c'2 = a'2 + b'2
mit 1) und 2) folgt dann :
c'2 = a2 + b2 = c2
Daraus folgt : c' = c
Das bedeutet die beiden Dreiecke ABC und A'B'C' stimmen in allen drei Seiten überein (SSS-Satz).
Beide Dreiecke sind also kongruent, woraus folgt, daß auch das Dreieck ABC rechtwinklig ist mit der Hypotenuse [AB]. #
1. Biographie des Pythagoras 2. Entstehung des Satzes 4. Verallgemeinerung
5. Übungen 6. Eine Anwendung aus dem "Alltag" 7. Literatur und nützliche Links
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e-mail : Peter.Moreth@stud.uni-bayreuth.de